4.2 Álgebra de Matrices

La matriz unidad de orden n×n es la matriz I de orden n×n en la cual todas las entradas son cero excepto los de la diagonal principal, que son 1. En símbolos:

I_ij = 1 si i = j y I_ij = 0 si i ≠ j.

Una matriz cero es una matriz O en la cual todas las entradas son cero.
Las operaciones de adición, multiplicación escalar, multiplicación entre matrices se cumplen las siguientes reglas:

A+(B+C) = (A+B)+C	Regla asociativa de adición
A+B = B+A	Regla conmutativa de adición
A+O = O+A = A	Regla unidad de adición
A+( - A) = O = ( - A)+A	Regla inversa de adición
c(A+B) = cA+cB	Regla distributiva
(c+d)A = cA+dA	Regla distributiva
1A = A	Unidad escalar
0A = O	Cero escalar
A(BC) = (AB)C	Regla asociativa de multiplicación
AI = IA = A	Regla unidad de multiplicación
A(B+C) = AB + AC	Regla distributiva
(A+B)C = AC + BC	Regla distributiva
OA = AO = O	Multiplicación por matriz cero
(A+B)T = AT + BT	Trasposición de una suma
(cA)T = c(AT)	Trasposición de un producto escalar
(AB)T = BTAT	Trasposición de un producto matriz

La única regla que está notablemente ausente es la de conmutatividad del producto entre matrices. El producto entre matrices no es conmutativo: AB no es igual a BA en general.

Ejemplos
La siguiente es la matriz unidad de orden 4×4:

I =		1	0	0	0
		0	1	0	0
		0	0	1	0
		0	0	0	1

El fallo de la regla conmutativa para el producto entre matrices se muestra por el siguiente ejemplo:

A = 0 1 1/3 -1

B =

1 -1 2/3 -2

AB =	2/3 -2 -1/3 5/3
BA =	-1/3 2 -2/3 8/3