4.2.3 Propiedades de las Operaciones con Matrices

PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES

1ª  Conmutativa:    A + B = B + A

2ª  Asociativa:    ( A + B ) + C = A + ( B + C )

3ª  Elemento neutro:   0  ( matriz cero o matriz nula ).

     0 + A = A + 0 = 0

4ª  Elemento simétrico:  - A   ( matriz opuesta de A ).

     A  + ( -A ) = ( -A ) + A = 0

La opuesta de la matriz  A  se obtiene cambiando de signo todos los elementos de la matriz  A:  - (a_ij) = (-a_ij).

PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UNA MATRIZ

Sean  A  y  B  matrices de la misma dimensión  y  k  y  h  números reales. Se verifica:

1ª  Distributiva respecto de la suma de matrices:    k . ( A + B ) = k . A + k . B

2ª  Distributiva respecto de la suma de números reales:    ( k + h ) . A = k . A + h . A

3ª  Asociativa mixta (entre números y matrices):   ( k . h ) . A = k . ( h . A )

4ª  Elemento neutro:  1   ( número real  1 )    1 . A = A

PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES

Sean  A, B  Y  C  matrices. Siempre que sea posible efectuar los productos indicados, de acuerdo con la condición anterior, se verifica:

1ª  Asociativa:    ( A . B) . C = A . ( B . C )

2ª  Elemento neutro:   I   ( matriz identidad o unidad )       A . I = I . A = A

3ª  Distributiva respecto de la suma de matrices:   A . ( B + C ) = A . B + A . C

4ª  El producto de matrices no es, en general, conmutativo:  A . B  ≠  B . A

5ª  Matriz Inversa:  Dada una matriz cuadrada  A, si existe otra matriz  B  que verifique  A . B  =  B . A = I  (matriz identidad), entonces se dice que  B  es la matriz inversa de  A  y se representa por  A^-1.     ( A . A^-1 = A^-1 . A = I )